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집합에 정의된 연산 또는 작용 등과 관련이 있는 여러 가지 수학적 구조를 연구하는 학문을 대수학이라고 한다.
따라서 대수학은 수학의 가장 기본이 되는 중요한 분야로 그 이론은 물리학, 화학, 생명과학 등의 자연과학뿐 아니라 암호학, 부호학, 영상처리, 컴퓨터 공학 등에도 응용된다.
아주대학교 수학과에서는 대수적 구조를 조합론 혹은 기하학과 연결지어서 이해하려는 연구를 진행하고 있으며 구체적으로 다음과 같은 연구가 이루어지고 있다.
- 대수기하학 (Algebraic Geometry)
연립방정식의 해로 정의되는 기하학적 공간을 대수적인 방법을 이용하여 연구한다.
위상 수학 및 미분기하학 등 다른 기하학 분야와도 긴밀한 관계가 있으며, 현대에는 scheme이라는 보다 추상적인 대상을 다룸으로써 정수론 등 인접 학문의 발전에도 큰 영향을 주고 있다.
최근에는 타원곡선 암호, 대수기하학적 부호이론, 컴퓨터 비전 등 산업 분야에도 응용이 되고 있다.
- 대수적 조합론 (Algebraic Combinatorics)
여러 가지 대수구조에서 나타나는 대상들을 구체적인 조합적 대상으로 바꾸어 이해하고자 한다.
조합적 관점과 방법을 통하여 새로운 대수적 결과를 얻어내기도 하고 대수적인 방법을 적용하여 새로운 조합적 결과를 얻어내기도 한다.
예를 들어 가장 자연스러운 군(group)의 하나인 대칭군의 원소(순열)들은 한 쌍의 타블로를 이용하여 표현할 수 있고 타블로에 관한 조합적 관찰은 대칭군의 표현론을 이해하는데 중요한 역할을 한다.
- Enumerative Combinatorics
대칭성을 가지는 자연스러운 대상을 자세히 들여다본다.
특히, 흥미로운 성질의 유무에 따라 이들을 분류하고 개수를 센다.
그리고, 좀 더 잘 알고 있는 구체적인 대상과 대응시켜봄으로써 손에 잡히는, 친하고 가까운 대상으로 만들어낸다.
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